"CALCULO DIFERENCIAL": diciembre 2014

lunes, 1 de diciembre de 2014

PASOS DE RESOLUCION "USOS Y APLICACIONES"..

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.

"CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA"....

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no

siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo

relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en

consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un

punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la

segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

calcular la primera y segunda derivadas

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera

derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda

derivada resulta negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un

máximo o mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en

la función original, para conocer las coordenadas de los

puntos máximo y mínimo.

"CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA"...

obtener la primera derivada.

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

"SENTIDO DE CONCAVIDAD"..

CONCAVIDAD
Se dice que una funcion y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en
el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la grafica de la ´
funcion en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la
funcion. ´
Si la tangente dibujada queda por arriba de la funcion decimos que ´

la funcion presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.

Criterio de Concavidad.-

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I .
(i) Si f ´´ (x ) > 0 para todo x en I , la gráfica de f esCóncava hacia arriba.
(ii) Si f ´´ (x ) < 0 para todo x en I , la gráfica de f es Cóncava hacia abajo .

• Se dice que f es Cóncava hacia arriba en el intervalo ]a , b[ , si todos los puntos de la gráfica quedan por encima de la tangente a la curva en un punto cualquiera en ese intervalo .

• Se dice que f es Cóncava hacia abajo en el intervalo ] a, b [ si todos los puntos de la gráfica quedan por debajo de la tangente a la curva en un punto cualquiera de ese intervalo.

"VALORES CRÍTICOS"..

un punto critico es donde la derivada se hace cero, pero no se debe a que sea un minimo o un maximo (ya q puede ser un cambio brusco de la curva y no sea un valor extremo) y valor critico es cuando la derivada en ese punto es cero y estamos seguros que es un maximo o un minimo.

se define como aquellos puntos en donde su derivada se anula o no está definida. En un gráfico, estos puntos críticos suelen corresponder con áreas de valores máximos o mínimos, o un punto de inflexión. Puedes hallar la primera derivada utilizando el procedimiento dado por el análisis matemático. Una vez que conozcas la derivada primera, es sólo cuestión de hallar los valores de "x" en los que se anula o no está definida.

"PUNTO DE INFLEXIÓN".

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.

1- Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$

2- Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$

3- Se halla la tercera derivada de $f \rightarrow f'''(x)$

4- Se iguala la segunda derivada a 0: $f\,''(x) = 0$

5- Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:

$x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f''(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$

6- Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable dependiente en la función.

7- Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada $x_i\,$ .

Si $f'''\,(x_i) \ne 0$ , se tiene un punto de inflexión en $P\, (x_i, f(x_i))$ .

Si $f'''\,(x_i) = 0$ , debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.

Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

"DEFINICIÓN DE: MÁXIMOS Y MÍNIMOS, ABSOLUTOS Y RELATIVOS".

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local.

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local.

La función f(x) presenta un máximo relativo en x_o , cuando existe un entorno E(x_o) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en x_o , cuando existe un entorno E(x_o) tal que:

máximo absoluto

Valor de una función dada, que es mayor o igual que cualquier valor de la función dada. El máximo absoluto es el mayor de todos los valores.

mínimo absoluto

: Valor de una función que es menor o igual a cualquier valor de la función dada. El mínimo absoluto es el menor de todos los valores.

"PASOS DE RESOLUCIÓN (DERIVACIÓN)".

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y

“Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la

función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de

la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de

la función ) entre Δx ( incremento de la variable

independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de

la variable independiente ) tiende a cero.

" FUNCIONES EXPONENCIALES"

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = b^x, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función b^x se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)^1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

debe elevar

la base para obtener el número.

"CALCULO DIFERENCIAL"