PASOS DE RESOLUCION "USOS Y APLICACIONES"..

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

 El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.

"CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA"....

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no 

siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo 

relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en 

consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un 

punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la 

segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

calcular la primera y segunda derivadas

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera 

derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda 

derivada resulta negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un 

máximo o mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en 

la función original, para conocer las coordenadas de los 

puntos máximo y mínimo.

"CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA"...

obtener la primera derivada.

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

"SENTIDO DE CONCAVIDAD"..

CONCAVIDAD
Se dice que una funcion y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en
el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la grafica de la ´
funcion en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la
funcion. ´
Si la tangente dibujada queda por arriba de la funcion decimos que ´

la funcion presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.


Criterio de Concavidad.-

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I .
(i) Si f ´´ (x ) > 0 para todo x en I , la gráfica de f esCóncava hacia arriba.
(ii) Si f ´´ (x ) < 0 para todo x en I , la gráfica de f es Cóncava hacia abajo .

• Se dice que f es Cóncava hacia arriba en el intervalo ]a , b[ , si todos los puntos de la gráfica quedan por encima de la tangente a la curva en un punto cualquiera en ese intervalo .

• Se dice que f es Cóncava hacia abajo en el intervalo ] a, b [ si todos los puntos de la gráfica quedan por debajo de la tangente a la curva en un punto cualquiera de ese intervalo.

"VALORES CRÍTICOS"..

• un punto critico es donde la derivada se hace cero, pero no se debe a que sea un minimo o un maximo (ya q puede ser un cambio brusco de la curva y no sea un valor extremo) y valor critico es cuando la derivada en ese punto es cero y estamos seguros que es un maximo o un minimo.

• se define como aquellos puntos en donde su derivada se anula o no está definida. En un gráfico, estos puntos críticos suelen corresponder con áreas de valores máximos o mínimos, o un punto de inflexión. Puedes hallar la primera derivada utilizando el procedimiento dado por el análisis matemático. Una vez que conozcas la derivada primera, es sólo cuestión de hallar los valores de "x" en los que se anula o no está definida.

"PUNTO DE INFLEXIÓN".

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.

1- Se halla la primera derivada de 

2- Se halla la segunda derivada de 

3- Se halla la tercera derivada de 

4- Se iguala la segunda derivada a 0: 

5- Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:

6- Se halla la imagen de cada  sustituyendo la variable dependiente en la función.

7- Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada .

Si , se tiene un punto de inflexión en .

Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.

Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

"DEFINICIÓN DE: MÁXIMOS Y MÍNIMOS, ABSOLUTOS Y RELATIVOS".

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local.

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local. 

La función f(x) presenta un máximo relativo en x_o , cuando existe un entorno E(x_o) tal que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo en x_o , cuando existe un entorno E(x_o) tal que:

máximo absoluto

Valor de una función dada, que es mayor o igual que cualquier valor de la función dada. El máximo absoluto es el mayor de todos los valores.

                           mínimo absoluto

Valor de una función que es menor o igual a cualquier valor de la función dada. El mínimo absoluto es el menor de todos los valores.

"PASOS DE RESOLUCIÓN (DERIVACIÓN)".

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y 

“Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la 

función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de 

la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de

 la función ) entre Δx ( incremento de la variable

 independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de 

la variable independiente ) tiende a cero.

" FUNCIONES EXPONENCIALES"

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = b^x, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función b^x se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)^1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

"FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES"

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

"FUNCIONES TRASCENDENTES"

En las funciones trascendentes la variable

independiente figura como exponente, o como índice

 de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o 

de cualquiera de los signos que emplea la

 trigonometría.

Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

"FUNCIONES LOGARÍTMICAS DE BASE"

El logaritmo de un número, en una base

 dada, es el exponente al cual se 

debe elevar 

la base para obtener el número.

"FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA"

se definen comúnmente como el cociente entre

 dos lados de un triángulo rectángulo

asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas

 son funciones cuyos valores

son extensiones del concepto de razón trigonométrica

 en un triángulo rectángulo trazado

 en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la función secante

Derivada de la función cosecante

"REGLAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS"

Derivada de una constante es cero

        d (c) = 0

        dx

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad

       

        d (x) = 1

        dx

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

       

       d (u+v-w) = dw + dv - dw

      dx                      dx    dx    dx

La derivarda del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante

       d (cv) = c dv

        dx             dx

La derivada de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera

       d (uv) = udv + udw

       dx             dx        dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función

        d (vn) = nv n-1 dv

        dx                         dx 

Cuando y = x; se convierte en:

     d (xn) = nx n-1

     dx

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante

     d (u) = 1 dw

     dx  c     c  dx

"DEFINICIÓN DE DERIVADA"

Se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

"LIMITES" ( DEFINICIÓN)

DEFINICIÓN #1
Es la distancia que hay entre dos puntos , nunca con un valor determinado.
DEFINICIÓN #2
Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se in-determina, es decir, en donde el valor de la función sería.
DEFINICIÓN #3
Una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite).

"LIMITES" (TIPOS DE LIMITES)

LIMITE DE UNA FUNCIÓN:Es el valor al cual se aproxima la función cuando x tiene un valor determinado.
Límites infinitos:Los tipos de límites en los que f(x) se hace infinita cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha se conocen como límites infinitos.Limites finitos:

es un termino que esta entre otros dos términos.

ejemplo: tengo un numero entero que esta entre el 2 y el 6,

 osea que los números pueden ser el 3; 4 o 5 

LIMITES LATERALES

- El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x → x₀, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x₀ y menores que x₀.

Para expresar el límite por izquierda se escribe  f(x)

- El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x → x₀, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x₀ y mayores que x₀.

"LIMITES" ( CONDICIONES DE CONTINUIDAD)

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda donde en este caso, f(x) = y.

Esto  quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

es continua en el punto a.

Para que una función sea continua debe serla en todos los puntos de su dominio (donde esta definida). 

Para ser continua en un punto, el valor de la funcion en dicho punto debe ser igual al límite de la función en el mismo.

f(a) = lim f(x) = lim f(x)
Continuidad en un punto: Una funcion´ f es continua en a si se verifican las siguientes condiciones:
1. f(a) esta definida. 2. ´ limx→a
f(x) existe. 3. limx→a
f(x) = f(a).
Continuidad en un intervalo abierto: Una funcion´ f se dice continua en un intervalo abierto (b, c) si lo es en
todos los puntos de ese intervalo.
Si f es continua en toda la recta real (−∞, ∞) diremos simplemente que f es una funcion continua ´ . Se dice que

f es discontinua en a si no es continua en dicho punto.
Continuidad por la derecha: Una funcion´ f es continua por la derecha en a si se verifican las siguientes condiciones:
1. f(a) esta definida. 
2. ´ lim x→a+ f(x) existe.
 3. lim x→a+ f(x) = f(a).
Continuidad por la izquierda: Una funcion´ f es continua por la izquierda en a si se verifican las siguientes

condiciones:
1. f(a) esta definida. 
2. ´ lim x→a− f(x) existe. 
3. lim x→a− f(x) = f(a).
Continuidad en un intervalo cerrado: Una funcion´ f se dice continua en un intervalo cerrado [b, c] si es continua

en (b, c) y tambien es continua por la derecha en ´ b y por la izquierda en c

5) 3 EJEMPLOS EN DONDE SE VE REFLEJADA SU APLICACIÓN:

• Dentro de la vida cotidiana: puede describir el ritmo en que se mueve un objeto, que tanto dinero genera una cuenta de ahorros, la velocidad a la que crece o disminuye una población, la velocidad a la que se enfría o se caliente un objeto.
• Dentro del aspecto académico: se aplica en las carreras de ingeniería y el particular la ingeniería electrónica, utiliza bastantes ecuaciones diferenciales para el análisis de señales analógicas o digitales. En la medicina, en carreras que tengan física , química y en estadística.
• En el desarrolló la física como la conocemos hoy, la mecánica de fluido y su estudio hizo posible por ejemplo los aviones,las presas.

•  Gracias también al cálculo diferencial hubo  descubrimiento de las leyes del electromagnetismo hicieron posible los electrodomésticos la TV y otros con el cálculo de circuitos.

4)PUNTO DE VISTA DE LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO EN LA VIDA DIARIA:

Hoy en día el cálculo es muy importante ya que esta relacionado con la ciencia y tecnología de la vida moderna y se ha vuelto tan influyente que ya sencillamente no se podría hacer nada sin el cálculo. Y es importante mencionar sobre la tecnología, por que ahorita estamos en una era que en mi opinión esta mal ya que ahora la tecnología nos domina a nosotros.

el cálculo son matemáticas y las matemáticas están en todo , nos rodean aunque nosotros ni siquiera nos demos cuenta, muchas personas no les gusta las matemáticas , pero si por ejemplo un estudiante piensa terminar su carrera, aunque no quiera tendrá que trabajar con matemáticas , así sea psicología etc. sencillamente las matemáticas nos rigen son perfectas, todo lo que el hombre transforma ( aviones, carritos de mandado, tarjetas de crédito etc.). las matemáticas nos permitan tener todo lo que tenemos ahora.

3) TRABAJOS DE LEIBNZ:

Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facultad de filosofía de la universidad de Leizig. De joven, estudió filosofía, derecho y lenguas clásicas. 

La entrada matemática de Leibniz fue entonces impresionante, ya que 
le llevó al descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos del Acta Eruditorum después en 1684 
y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.

Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos  "" y  "d" de la integral 
y la diferencial.

Contribuyó enormemente en prácticamente todos los campos del conocimiento humano, religión, 
política, historia, física, mecánica, tecnología, lógica, geología, lingüística e historia natural.